Los orígenes del cálculo se
remontan unos 2,500 años por lo menos, hasta los antiguos griegos, quienes
hallaron áreas aplicando el "método de
agotamiento".
El Cálculo cristaliza conceptos y métodos que la
humanidad estuvo tratando de dominar por más de veinte siglos
Sus aplicaciones son difíciles de cuantificar
porque toda la matemática moderna, de una u otra forma, ha recibido su
influencia; y las diferentes partes del andamiaje matemático interactúan
constantemente con las ciencias naturales y la tecnología moderna.
Newton y Leibniz son considerados los inventores
del cálculo, pero representan un eslabón en una larga cadena iniciada muchos
siglos antes. Fueron ellos quienes dieron a los procedimientos infinitesimales de sus antecesores inmediatos,
Barrow y Fermat, la unidad algorítmica y la precisión necesaria como método
novedoso y de generalidad suficiente para su desarrollo posterior.
El extraordinario avance registrado por la
matemática, la física y la técnica durante los siglos
XVIII, XIX y XX, se lo debemos al Cálculo infinitesimal y por eso se puede
considerar como una de las joyas de la creación intelectual de la que el hombre puede sentirse orgulloso. La palabra cálculo proviene del latín
calculus, que significa contar con piedras.
1.1 Civilizaciones Antiguas
El avance algebraico de los egipcios, dio como
resultado la resolución a ecuaciones de tipo. La correcta implementación de la regla aritmética de cálculo,
por parte de los Indios, aumento el conocimiento matemático, y la creación de los números
irracionales, además que ayudó a la resolución de sistemas de ecuaciones.
El Cálculo Diferencial se origina en el siglo XVII
al realizar estudios sobre el movimiento, es decir, al estudiar la velocidad de los cuerpos al caer al vacío ya que cambia de un momento a otro; la
velocidad en cada instante debe calcularse teniendo en cuenta la distancia que
recorre en un tiempo
infinitesimalmente pequeño.
En 1666 Sir Isaac Newton (1642-1727), fue el primero en desarrollar métodos matemáticos para
resolver problemas de esta índole. Inventó su propia versión del cálculo para explicar el
movimiento de los planetas alrededor del Sol. Newton concibió el llamado Método de las Fluxiones,
considerando a la curva como la trayectoria de un punto que fluye; denomina
"momentum" de la cantidad de fluente al arco mucho muy corto,
recorrido en un tiempo excesivamente pequeño, llamando la "razón del
momentum" al tiempo correspondiente, es decir, la velocidad
Casi al mismo tiempo, el filósofo y matemático
alemán Gottfried Wilhelm Leibniz (1646- 1716), realizó investigaciones similares e ideando símbolos matemáticos que se aplican hasta nuestros días. La concepción de
Leibniz se logra al estudiar el problema de las tangentes y su inverso,
basándose en el Triángulo Característico de Barrow, observando que dicho
triángulo al que se forma con la tangente, la subtangente y la ordenada del
punto de tangencia, así mismo, es igual al triángulo formado por la Normal, la
Subnormal y la ordenada del mismo punto.
Después de Newton y Leibniz, el desarrollo del
cálculo fue continuado por Jacobo Bernoulli y Johann Bernoulli..
Destacan otros matemáticos por haber hecho trabajos
importantes relacionados con el Cálculo Diferencial, sobresaliendo entre otros,
los siguientes:
- Pierre Fermat (1601-1665), matemático francés, quien en su obra habla de los métodos diseñados para determinar los máximos y mínimos, acercándose casi al descubrimiento del Cálculo Diferencial, mucho antes que Newton y Leibniz. Dicha obra influenció en Leibniz en la invención del Cálculo Diferencial.
- Johannes Kepler, tiempo después, coincide con lo establecido por Oresme, conceptos que permitieron a Fermat en su estudio de máximos y mínimos, las tangentes y las cuadraturas, igualar a cero la derivada de la función, debido a que la tangente a la curva en los puntos en que la función tiene su máximo o mínimo, es decir, la función es paralela al eje donde la pendiente de la tangente es nula. X
- Isaac Barrow (Londres, 1630 - id., 4 de mayo, 1677), maestro de Newton, construyó el "triángulo característico", en donde la hipotenusa es un arco infinitesimal de curva y sus catetos son incrementos infinitesimales en que difieren las abscisas y las ordenadas de los extremos del arco.
- Joseph-Louis LaGrange (1736-1813), quien demostró por primera vez el Teorema del Valor Medio.
- Agustín-Louis Cauchy (París, 21 de agosto de 1789- Sceaux, 23 de mayo de 1857), matemático francés, impulsor del Cálculo Diferencial e Integral, autor de La Teoría de las Funciones de las Variables Complejas, se basó en el método de los límites; las definiciones de "función de función" y la de "función compuesta" se deben a él. El concepto de función continua fue introducido por primera vez por él en 1821.
- Leonhard Euler (1707-1783). La simbología se debe a él, quien además de hacer importantes contribuciones a casi todas las ramas de las matemáticas, fue uno de los primeros en aplicar el cálculo a problemas de la vida real en la Física. Sus extensos escritos publicados incluyen temas como construcción de barcos, acústica, óptica, astronomía, mecánica y magnetismo.
- John
Wallis (Ashford, 23 de noviembre de 1616 – Oxford, 28 de octubre de 1703),
enuncia el concepto de "límite".
Pierre Fermat
Johannes Keppler
Isaac Barrow
Joseph-Louis LaGrange
Agustin Louis Cauchy
Leonhard Euler
John Wallis
La representación simbólica "lím" se debe
a Simón Lhuilier (n. Ginebra, Suiza el 24 de abril de 1750, f. en Ginebra el 28
de marzo de 1840). El símbolo "tiende a" lo propuso J. G. Leathem.
2.1 Personajes y contribuciones en la antigüedad
El trabajo prehelénico de los Egipcios y
Babilonios, aunque tuvo una ausencia de generalidad y atención a las
características esenciales sobre la naturaleza lógica del pensamiento
matemático y su necesidad de pruebas
deductivas, logró un acervo tal de cálculos y procedimientos concretos, que
tuvo sin duda, una clara influencia en los trabajos iníciales de los filósofos y matemáticos griegos:
- Tales de Mileto. Fue quien inicialmente introdujo los métodos deductivos no exentos de cierto empirismo y falta de generalidad- a través de procesos sistemáticos de abstracción, que ciertamente fueron la base para los Pitagóricos. Zenón de Elea (450 a. de C. aprox.), formuló un buen número de problemas (paradojas) basados en el infinito.
Para los antiguos griegos, los números como tales
eran razones de números enteros, por lo que no todas las longitudes eran
números.
- Eudoxo (408 a. de C. - 355 a. de C.) de Cnido, Asia Menor (Turquía).
El infinitesimal. Estos problemas fueron retomados
hasta el siglo XIV por los filósofos escolásticos, y su discusión, cualitativa
en gran parte, pero apoyada en demostraciones gráficas, hizo posible la introducción posterior de la geometría analítica y la
representación sistemática de cantidades variables.
TALES DE MILETO
ZENÓN DE ELEA
EUDOXO
Personajes y contribuciones en el siglo XVIII
- Gilles Persone de Roberval (1602- 1675). Cálculo de tangentes como vectores de "velocidad instantánea". Cicloide: su área es 3 veces la del círculo que la genera.
- John Wallis (1616-1703). Escribió su Arithmetica Infinitorum en 1655. Abordó sistemáticamente, por primera vez, la cuadratura de las curvas de la forma y=x k donde k no es necesariamente un entero positivo. Su trabajo en la determinación de los límites implicados fue empírico. Tuvo una influencia decisiva en los primeros desarrollos del trabajo matemático de Newton.
- Isaac Barrow (1630-1677). Maestro de Newton. Competente en árabe y griego, mejoró traducciones de textos griegos. Punto de vista conservador en matemáticas.
GILLES DE ROBERVAL
JOHN WALLIS
Incluyen los procedimientos infinitesimales
conocidos por él. La mayoría de los problemas presentados tratan tangentes y
cuadraturas desde un punto de vista clásico (geométrico en lugar de analítico).
Incluye su método del "triángulo característico" en el que
implícitamente se toma a la recta tangente como la posición límite de la
secante.
ISAAC BARROW
Nace el cálculo
- Isaac Newton (1643-1727). En 1687 fue publicada su obra magistral Philosophiae Naturalis Principia Mathematica en el cual se exponen, en diferentes pasajes, claras exposiciones del concepto de límite, idea básica del cálculo.
Ofrece tres modos de interpretación para el nuevo
análisis:
- aquél en términos de infinitesimales usado en su De analysi, su primer trabajo (1669, publicado en1711);
- aquél en términos de fluxiones, en la que parece apelar con mayor fuerza a su imaginación; ? aquél en términos de razones primeras y últimas o límites, visión que él parece considerar más rigurosa.
- Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716). Sus resultados en el cálculo integral fueron publicados inicialmente en 1684, Introduce los elementos diferenciales dy ó dx para expresar la "diferencia entre dos valores sucesivos" de una variable continua y ó x. Al tomar la suma de tales diferenciales de la variable se obtiene la variable misma, lo cual denota por dx.
El "triángulo diferencial" que había sido
estudiado en varias formas particularmente en los trabajos de Torricelli,
Fermat y Barrow es el antecedente más cercano al enfoque que ofrece Leibniz en
su tratamiento de sumas y diferencias, aunque él mismo aseguró
que la inspiración inicial la encontró al estudiar el tratado de Pascal "Traité
des sinus du quart de cercle".
Sus obras dan cuenta de un método generalizado para
abordar esas sumas y diferencias, además del tratamiento inverso
de ambas operaciones, mediante el uso de un sistema de notación y terminología
perfectamente acoplado a la materia que trata en sus bases lógicas y
operativas.
Leibniz siempre se dio cuenta que estaba trabajando
con una nueva materia. Se especula que Newton, hasta que supo de esta postura
de Leibniz consideró él mismo su método de fluxiones como una nueva
materia también y un modo de expresión matemática organizado más que
simplemente una útil modificación de reglas anteriores.
ISAAC NEWTON GOTTFRIED WILHELM VON
LEIBNIZ
El trabajo más importante de cálculo de Newton
estuvo escrito de 1665 a 1676, pero ninguna de sus obras fue publicada durante
ese tiempo. Se ha sugerido que la demora en la publicación de sus tres
principales trabajos fue ocasionada por el hecho de que estaba insatisfecho con
los fundamentos lógicos de la materia. En su monografía no hace explícito el uso de la notación fluxional ni de la idea. En su lugar
usa lo infinitamente pequeño, tanto geométrico como analítico de manera similar
a la que encontramos en Barrow y Fermat, y extiende su aplicabilidad por el uso
del Teorema del Binomio.
- http://analisisfigempa.wikispaces.com
- http://www.slideshare.net
- Apuntes de historia de las matemáticas, Volumen 1, nº1, 2002.
- Melanie Martínez
